WKB近似
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来到Pisa之后主要的一个研究课题就是寻找半经典理论和量子理论的连接。主要的原因是我现在的老板Angela和她当年的博士导师发展了一套半经典的理论Bonaccorso-Brink理论来描述敲出(stripping)反应， 而我在博士期间使用了IAV模型即一种量子模型来解决同样的敲出反应。 那么来到这边之后主要的目的就是看看这两个模型有没有相连的地方。
Bonaccorso-Brink是一种转移到连续态的反应模型， 它本身是从Hasan和Brink转移到束缚态理论（J. Phys. G 4 (1978) 1573）的一种推广。在转移到束缚态理论中有两个重要的近似。 第一个就是球谐函数的渐进形式，之前已经讨论过了，这种近似的准确度非常的低；第二个就是WKB近似， 也是这里要讨论的内容。
在Brink一系列的半经典理论中的一个出发点就是WKB的分波展开，即Nucl. Phys. A 259 (1976) 99-121这篇文章中的Eq.(3.1)。
那么在这里主要验证一下，这个WKB近似和直接求解薛定谔方程有何区别， 这里我们主要考虑连续态波函数的情况。 首先我们考虑势能为零的情况，量子理论中我们知道这个是平面波的情况。Eq.(3.1) 变为
但是在量子理论中我们知道s-wave的平面波为spherical Bessel function
可以看到中间差了1/4 pi这个系数
那么现在考虑只有p-wave的平面波，通过数值求解我们得到下面的结果 
可以看到WKB近似与精确解相比有一个微小的相移(phase shift)。老板跟我说在半经典理论中，centrifugal barrier通常取以下的近似值(文献来源尚无考证)
把这个新的centrifugal barrier代入WKB计算，可以得到 
可以看到除了经典的拐点之外，WKB的近似结果还是比较令人满意的。在测试中我测试过l=40的情况，结论是一致的,WKB是一个比较成功的近视。
那么下面我们做进一步的测试， 如果只加入库伦相互作用力会是什么样，我们假设z1=1, z2=1, Elab=160 MeV。数值计算结果如下
可以看到在这里我们的结论基本与平面波一致，即除了s-wave以外的分波WKB与精确解基本一致。同样我们也测试到了l=40的情况。
那么接下来，我们测试一下一个real absorption势的情况，定义这个势具有以下的参数
&POTENTIAL ptype=1 a1=0 a2=208 rc=1.3 uv=77.3 av=0.77 rv=1.15 /
数值计算结果如下
在这里，我们可以得到两个信息，
（1） WKB解与精确解在波函数幅度上存在一定的差别，这个差别除了s-wave之外是一致的；
（2）在小分波的时候，WKB与精确解的phase是一致的，但是当分波变大的时候明显存在相移，而且相移随着分波越大越明显。
上面的第一点可以从Nucl. Phys. A 259 (1976) 99-121的原文中得到解释，在Eq(2.6)中他们假设
然而实际情况并非如此，波函数只是正比于上述的表达式。 那么第(2)条，我们如何来解释呢？
在和老板聊了之后发现，造成这样的原因就是势阱深度数值太大，uv=77.3 MeV，这个数值与Elab=160 MeV相差不多， 所以WKB在这里失效。。然并卵，按照这个逻辑， 那么WKB就不能应用到核反应才对， 因为大多数的情况势阱深度数值都很大！ 这个根本就说不通
