Inhomogeneous equation解法

less than 1 minute read

Published: March 09, 2020

今天在写文章的时候，又对解inhomogeneous方程时，source项需不需要乘r这个系数感到困惑。不得不重新推导一遍方程，现在把过程记录在这里，省得以后每一次遇到时都需要推导。

对于具有下面形式的inhomogeneous方程

通常情况下有两种解法，一个是微分解法，另外一种是积分解法。对于微分解法来说，我们一般假设

$\psi=\frac{u}{r} \quad \text { and } \quad S=\frac{\rho}{r}$

因此上述方程在分波表述下，可以写为

$\left[-\frac{\hbar^{2} }{2 \mu}\left(\frac{d^{2}}{d r^{2}}-\frac{l(l+1)}{r^{2}}\right)+U-E\right] u_{\ell}=\rho_{\ell}$

上面的这个方程可以用Numerov或者R-matrix方法来解。

另外一方面我们还可以通过积分方程来解inhomogeneous equation，

$\psi(r)=-\int r^{\prime 2}G\left(r, r^{\prime}) S\left(r^{\prime}\right) d r^{\prime}\right.$

根据定义我们可以得到下列方程

$\begin{aligned} u_\ell(r) &=r \cdot \int r'^{2} \cdot \frac{2 \mu}{\hbar ^{2} k} \frac{f_\ell(r)}{r^{\prime}} \frac{h_\ell^+}{r} \frac{\rho_\ell}{r^{\prime}} d r^{\prime} \\ &=\frac{2 \mu}{\hbar^{2} k} \int f_{\ell}(r<) h_{\ell}^{(+)}(r>)\rho_\ell (r^{\prime}) d r^{\prime} \end{aligned}$

主要注意的是在实际物理应用时，我们通常情况下得到的是完整的source项，即S项，需要通过除以r变成\rho项。

Share on

Twitter Facebook LinkedIn

搭建个人wiki百科

less than 1 minute read

Published: July 08, 2020

在日程的工作中，我对wiki百科的依赖性非常大，尤其是要查某些物理概念的定义的时候。但是过段时间回国后可能就面临着告别wiki的尴尬局面。因此我想着能不能把wiki百科整个下载下来，放在自己的服务器上面运行。因为wiki本身是开源的，所以可行性非常的高。通过查找我发现，整个wiki英文版的备份也是能够下载到的。

nonlocal potential的解法

less than 1 minute read

Published: June 13, 2020

最近做的项目中需要解一个包含nonlocal potential的薛定谔方程。但是在通过使用R-matrix方法求解方程的时候发现得到的结果与把该nonlocal potential傅里叶变换到动量空间下求解的结果不一致。这个问题困扰了长达一个月的时间，通过查找文献我发现了一个比较有趣的现象，不同的文章对包含nonlocal potential的薛定谔方程定义都不一样。比如，在文章ANNALS OF PHYSICS 59, 219-247 (1970)中，方程被定义为

Jin Lei

Inhomogeneous equation解法

Share on

You May Also Enjoy

搭建个人wiki百科

使用树莓派搭建个人网盘owncloud

nonlocal potential的解法

几个帮助英文学术写作的小工具