经典散射理论

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Published: March 06, 2020

提到散射理论，通常会指向三种不同形式的散射，即经典散射，半经典散射以及量子散射理论。这里我们先从经典散射理论说起。

我们考虑一个简单的二维平面内的散射问题。在质心系下，假设入射粒子流以相同的速度v_in入射。不同的入射粒子通常具有不同的碰撞参数，因此有不同的散射角度\theta。定义dN为单位时间内通过角度区间\theta到\theta+d\theta范围内的粒子数目。这个数目本身并不能很好的描述散射过程，因为它与入射粒子流的密度成正比。因此我们采用它们之间的比值

$d \sigma=d N / n$

其中n是单位时间内通过单位面积的粒子数。可以发现，这个比值具有面积的量纲，通常把它称为截面

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接下来我们讨论一下入射粒子的轨迹, 如上图所示，在中心力场下的散射轨迹以入射粒子到散射中心最短距离（OA）为中心线对称的。两条轨迹渐近线与中心对称线的夹角（\phi_0）是相同的。因此散射角\theta等于

$\theta=|\pi-2 \phi_0|$

另外，入射粒子的散射问题，可以看成是在中心力场U(r)下的散射，在质心系下总能量为

$E=\frac{1}{2}\left(m \dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\phi}^{2}\right)+U(r)=\frac{1}{2} m \dot{r}^{2}+\frac{1}{2} P_{L}^{2} / m r^{2}+U(r)$

其中角动量P_L被定义为

$P_{L}=m r^{2} \dot{\phi}$

因此，我们得到入射粒子的速度为

$\dot{r}=\frac{d r}{d t}=\sqrt{\frac{2}{m}[E-U(r)]-\frac{P_{L}^{2}}{m^{2} r^{2}}}$

通过角动量的定义，我们可以得到

$d \phi=P_{L} d t / m r^{2}$

接下来我们把入射粒子速度定义中的dt代入上式中，可以得到

$\phi=\int_{r_{min}}^{\infty} \frac{P_L d r / r^{2}}{\sqrt{2 m(E-U(r))-P_{L}^{2} / r^{2}}}$

其中r_{min}为入射粒子与靶核的最短距离，也是上式根号内表达式为0时的r值。为了方便后续的讨论，我们使用入射粒子速度v_in和碰撞参数p为变量，入射粒子能量与角动量可以表述为

$E=\frac{1}{2} m v_{i n}^{2}, \quad P_{L}=m p v_{i n}$

因此\phi角的公式可以改写为

$\phi=\int_{r_{min}}^{\infty} \frac{\left(p^{2} / r^{2}\right) d r}{\sqrt{1-\left(p^{2} / r^{2}\right)-\left(2 U / m v_{i n}^{2}\right)}}$

通过\phi角与\theta角的关系式，我们得到碰撞参数与散射角的关系式。通过上述表达式可以发现，一个\phi角只对应一个碰撞参数。因此当碰撞参数处于p(\theta)和p(\theta)+dp(\theta)之间时，散射角度对应的区间为\theta到\theta+d\theta。通过该散射角区域的粒子数可以由半径为p和p+dp之间环形的面积乘以粒子流密度n求得，

$d N=2 \pi p d p \cdot n$